数学大观--文科数学教学的一次尝试
一年以前，北航研究生院希望我为北航文科的研究生开设一门数学课程，课程的内容和名称都由我确定。我虽然上过多年的数学课，并且在数学基础课程教学指导分委员会分工负责文科的数学基础教学，组织并参加了几次有关的会议，但实在没有给文科的学生上数学课的经历，因此有兴趣借此机会进行一次试验，获得一些感性认识。
为了上这门课，首先要解决的问题是:给这些文科的研究生上数学课要达到什么教学目的?如果是经济类的“文科”，学生在专业学习和研究中本来就需要用到许多具体的数学知识，他们可以去学习理工科的相应的数学课。但是，如果是语言、文学、哲学这样“真正意义”的文科，对他们有用的其实不是某些具体的数学知识，而是数学的思想和观念。而且，他们中的不少人，当初之所以选择文科而不选择理工科，很大程度上是由于对数学的害怕、讨厌甚至仇恨。如果再板着面孔将一些具体的数学知识硬灌给他们，不但不可能让他们掌握这些数学知识，反而会强化他们对数学的反感和仇视，有什么好处呢?因此，我一开始确定的教学目标就是:1.展示数学的神奇、精彩、美丽的本来面目，在一定程度上赢得文科学生对数学的好感和兴趣;即使达不到这一目的，哪怕能够降低他们对数学的反感和仇视也好。2.让文科学生对数学的一些重要的思想方法有所了解和体会。
怎样才能引起文科学生对数学的兴趣，并帮助他们对数学的思想方法有所了解和体会?如果只是说一些赞扬数学的华丽词语，讲一些数学思想方法的高谈阔论，很可能会适得其反，不但不能让学生喜欢数学，懂得数学，反而使他们对数学更反感。我的计划是通过一些具体的例子来体现数学的精彩和美丽、思想和方法。金庸的武侠小说《倚天屠龙记》中张三丰教张无忌太极剑，先是张三丰通过一定的招式来演示，然后张无忌跟着学习。张无忌使出来的招式竟然与张三丰的大不相同。张三丰不但不责怪张无忌离经叛道，反而要求张无忌将他所演示的招式彻底忘掉，才算是真正学会了。这个故事虽然显得有些离谱，但是却体现了一种高明的教学方式:张无忌需要学的不是太极剑的具体招数，而是太极剑的意识和理念。然而意识和理念必须通过具体招数来体现。张无忌透过具体招数学到了意识和理念，然后又将这些招数抛弃，在实战使用中通过自己随心所欲使出来的另外的招数体现了学到的意识和理念。简而言之就是:无招胜有招，通过有招学无招。我设计的文科数学的课程就采用了这样的思路:通过数学中一些重大的问题及其解决的过程，来体现解决问题的思路。尤为重要的是:最关键的最原创的思路往往是最简单的，因而是最精彩的。我从最简单的3+2=5开始，以此为例说明数学的抽象就是“难得糊涂”，就是从不同的事物中忽略不同点而提取共同点。将“3个手指加2个手指”、“3支铅笔加2只铅笔”、“3个乒乓球加2个乒乓球”混为一谈，忽略了肉做的手指和木头做的铅笔的差别、长的和圆的差别，只关心数量的多少，这就是“3+2=5”。用字母表示数，如乘法公式“(a-b)2=a2+b2-2ab”，字母所代表的数的多少也忽略了，提取出共同的运算规律。更高水平的“糊涂”是这个公式中的字母a,b甚至可以不代表数而是代表向量，得到的就是几何学中的余弦定理。这只是一个例子。整个课程的目的就是为了传播理念而不是为了传授“招数”，但课程的内容全部是由“招数”组成，这就是“通过有招学无招”。
“3+2=5”是幼儿园的算术;用字母表示数是中学数学;即使再举一些微积分的例子甚至“有理数更多还是无理数更多”这样的例子，至多也只是大学本科的数学。这样“低等”的数学能作为研究生的数学课程吗?研究生的课程水平当然应当比本科生课程更高。但是对于文科研究生的数学课程来说，水平更高不一定体现在数学知识的难度，而可以体现在思想的深度和哲学的高度。“抽象就是难得糊涂”，“通过有招学无招”，说的是“普遍性存在于特殊性之中、抽象存在于具体之中”这样的哲学观点。针对文科学生的特长，整个课程的各个例子及其叙述方式，既体现一定的数学思想，也体现一定的哲学思想。为了增加本课程的人文气氛，还举了不少金庸的武侠小说中的例子来说明这些思想，并且采用了诗歌的语言来体现数学内容和数学思想。例如，在讲复数时不是强行定义i2=– 1，而是通过诗句“平方得负岂荒唐，左转两番朝后方”给出了一个几何模型:将“左转90o”的变换记作i，则i2就是“左转两番”，也就是左转180o,就是向后转，相当于用– 1去乘。又如，诗句“星移斗转落银河，月印三潭伴碧波。保短保长皆变换，能伸能屈是几何”不但给出了线性变换的两个例子:“星移斗转”(绕轴的旋转)、“月印三潭”(关于平面的对称)，还体现了关于几何变换的不变量的著名的爱尔兰根纲领。除了有诗歌，还有音乐:利用等比数列计算了1,2,3,4,5,6,7, i各个音的频率，再利用计算机编程播放出来。其目的，是希望改变数学在文科学生中死板枯燥、恐怖冷峻的成见，代之以既英姿飒爽又和蔼可亲的本来面目。
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